卡迈克尔数是什么？

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满足如下条件的自然数n叫Carmichael数：n是合数，并且对所有在1和n之间的自然数b（<img src="http://2.im.guokr.com/formula/1c02a8ca38b14ddcf0e87831d40c68272c42bc19.svg" data-math="1<b），有。

为什么数学家会研究这样的数呢？这要从费马小定理说起。

大家对费马这个业余搞数学的法律工作者应该比较熟悉了。当时他的工作不允许随便出去跟别人玩，于是他就在家里玩数学，玩得青史留名。费马小定理就是他众多结果里边比较有名的。

费马小定理：对于一个素数p，取任意与它互质的正整数b，必定有。

然后有人就开起了脑洞：如果将费马小定理反过来用会怎么样呢？如果对一个正整数n，取任意与它互质的正整数b，都有的话，是不是就说明n是一个素数呢？实际上，根据模的性质，我们可以只考虑1和n之间的b。这实际上就是费马小定理的逆命题。如果这是对的话，那么就成了一个判别素数的好方法了，只需要检验一下这些乘方就可以了。

然而事情并没有那么单纯。真命题的逆命题不一定是真命题，而费马小定理恰好就是一个这样的例子。那些违反费马小定理的合数n，就是Carmichael数，有时候又叫绝对费马伪素数（absolute Fermat pseudoprimes）。

于是，知道这些数的规律，就能避开它们。而且作为数论中的有趣反例，它们在数论中也有一定的意义。

然后这位工人，他到底发现了什么呢？因为我找不到具体的公式，只能网上搜了几幅图片来推断。我觉得，他的发现很可能与以下论文中的Theorem 2,3,4有关：

Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45: 269–274.

我感觉这位工人大概不是民科，而是一般的数学爱好者，但是我也没有证据。在看到详细的论证之前，我自己感觉下结论说这个结果是不是新颖还为时尚早。不过，在力所能及的范围内，尝试用正确的方法论钻研数学，这还是值得鼓励的。这位工人的弱点可能在于不懂得做证明，不熟悉形式论证的方法，而这些方法对数学研究是非常重要的。

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修改的分割线：

找了一下，找到了具体的公式：(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)，如果三个因子都是素数，那么乘积就是Carmichael数。而Chernick的结果中的因子都是一次式，这里有一个二次式。那么，一个自然的问题就是：这个结果可以推广吗？Chernick的结果可以推广到一大堆别的形式上，如果现在这个公式也可以推广的话，那就更有趣了。