（一）公理
首先抄一段Wikipedia关于公理的陈述：
公理一词源自希腊文axioma，原意是“有价值的思想”。
[b]1、公理是最基本和不证自明（或假定为不证自明）的真理；
2、公理是推定任何其他命题的原始出发点，它本身不能由其他命题演绎而来。[/b]
公理不像其他由之推导出来的命题一样可以被证明，其功能在于建构出一个协调并兼容的系统。所以，那种认为公理是可以通过归纳逻辑来证明的看法，是错误的，并且这和科学的可证伪性是不相关的。最能说明问题、也最为大家熟知的就是欧几里德的“平行线公理”：“[color=Red]若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交[/color]。”通过欧几里德的“平行线公理”可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
欧几里德几何的五条公理中，就是这最后一条的叙述最繁复、最罗嗦——它看上去不象公理，而是一个可以被证明的命题。所以，自从欧氏几何诞生，千百年来有无数的人在努力证明“平行线公理”，但是都以失败告终。一直到高斯、黎曼等数学家登上舞台，才彻底结束了证明“平行线公理”的尝试。黎曼关于平行线的基本假设是：“通过一个不在直线上的点，可以做两条不与该直线相交的直线。”由此开创了黎曼几何，这是非欧几何的开始。数学家证明，非欧几何在逻辑上是自恰的，也就是说和欧氏几何一样，在逻辑上都是正确的，没有矛盾。
说到这里，不能不提提唯心主义的哲学家康德。康德认为这个世界是先天既定的，时间和空间只是人类感知的一种模式，他称之为直觉。康德认为空间来自于人的心智，也就是说，空间是从人的大脑中创造出来的。既然如此，心智就自然接受空间的某些属性，比如直线是两点间最短距离，三角形内角和等于180度等，没有理由不让这个空间是欧氏空间。这促使他坚信：不存在欧氏几何以外的空间（准确点应该是，康德不能构想出别的几何空间）。如果康德能够多注意一下他同时代发展出的非欧几何，估计他就不会这么轻率的得出结论。后世的爱因斯坦开创的广义相对论说明：时空是弯曲的，恰恰可以用黎曼几何来描述。
康德认为欧氏空间是人类思考和感知外部世界的先决条件。我们现在知道，这是错误的。虽然欧氏空间不是我们思考和感知外部世界的先决条件，但是，我们的思维的确是欧式空间的，这又是康德正确的地方。这句话很绕，我可以举个例：我们知道非欧几何是正确的，并且可以用它来描述时空，但是，因为非欧几何是非先验的，所以在你的脑子里构不出非欧几何的图像，比如，你不能想象两条平行线相交是什么情况。这也从一个侧面说明：公理是不可证明的。
这些说明了什么？说明我们的[color=Red]大脑有其局限性，思维不是无限的[/color]。有趣的是，非欧几何分为 hyperbolic geometry 和 elliptic geometry（也称为黎曼几何）两类，hyperbolic geometry 的定义是，过一点可以做无数条平行线，elliptic geometry 的定义是这样的平行线不存在，这三类几何在逻辑上都是自恰的。类似平行线公理的还有康托连续统假设。于是就引出了哥德尔不完备定理。在上世纪六十年代，数学家证明了“平行线公理”、“康托连续统假设”都属于不可判定的命题，既无法证明，也无法证伪。数学家可以按照自己的喜好任意选择，或是进入欧式几何的系统，或是进入非欧几何的系统。
现在我们可以回到对公理的认识了。除了开始的关于公理的那两条定义之外，我们还应该知道，[color=Red]公理系统是可以扩充的。如果扩充的公理系统中，某一条公理属于“不可判定”的命题，那么对其“真”或“非真”的不同选择，可以衍生出两套逻辑上都正确的系统[/color]，比如，欧式几何与非欧几何。这样的认识是我们后面讨论的基础。
下一篇：逻辑
首先抄一段Wikipedia关于公理的陈述：
公理一词源自希腊文axioma，原意是“有价值的思想”。
[b]1、公理是最基本和不证自明（或假定为不证自明）的真理；
2、公理是推定任何其他命题的原始出发点，它本身不能由其他命题演绎而来。[/b]
公理不像其他由之推导出来的命题一样可以被证明，其功能在于建构出一个协调并兼容的系统。所以，那种认为公理是可以通过归纳逻辑来证明的看法，是错误的，并且这和科学的可证伪性是不相关的。最能说明问题、也最为大家熟知的就是欧几里德的“平行线公理”：“[color=Red]若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交[/color]。”通过欧几里德的“平行线公理”可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
欧几里德几何的五条公理中，就是这最后一条的叙述最繁复、最罗嗦——它看上去不象公理，而是一个可以被证明的命题。所以，自从欧氏几何诞生，千百年来有无数的人在努力证明“平行线公理”，但是都以失败告终。一直到高斯、黎曼等数学家登上舞台，才彻底结束了证明“平行线公理”的尝试。黎曼关于平行线的基本假设是：“通过一个不在直线上的点，可以做两条不与该直线相交的直线。”由此开创了黎曼几何，这是非欧几何的开始。数学家证明，非欧几何在逻辑上是自恰的，也就是说和欧氏几何一样，在逻辑上都是正确的，没有矛盾。
说到这里，不能不提提唯心主义的哲学家康德。康德认为这个世界是先天既定的，时间和空间只是人类感知的一种模式，他称之为直觉。康德认为空间来自于人的心智，也就是说，空间是从人的大脑中创造出来的。既然如此，心智就自然接受空间的某些属性，比如直线是两点间最短距离，三角形内角和等于180度等，没有理由不让这个空间是欧氏空间。这促使他坚信：不存在欧氏几何以外的空间（准确点应该是，康德不能构想出别的几何空间）。如果康德能够多注意一下他同时代发展出的非欧几何，估计他就不会这么轻率的得出结论。后世的爱因斯坦开创的广义相对论说明：时空是弯曲的，恰恰可以用黎曼几何来描述。
康德认为欧氏空间是人类思考和感知外部世界的先决条件。我们现在知道，这是错误的。虽然欧氏空间不是我们思考和感知外部世界的先决条件，但是，我们的思维的确是欧式空间的，这又是康德正确的地方。这句话很绕，我可以举个例：我们知道非欧几何是正确的，并且可以用它来描述时空，但是，因为非欧几何是非先验的，所以在你的脑子里构不出非欧几何的图像，比如，你不能想象两条平行线相交是什么情况。这也从一个侧面说明：公理是不可证明的。
这些说明了什么？说明我们的[color=Red]大脑有其局限性，思维不是无限的[/color]。有趣的是，非欧几何分为 hyperbolic geometry 和 elliptic geometry（也称为黎曼几何）两类，hyperbolic geometry 的定义是，过一点可以做无数条平行线，elliptic geometry 的定义是这样的平行线不存在，这三类几何在逻辑上都是自恰的。类似平行线公理的还有康托连续统假设。于是就引出了哥德尔不完备定理。在上世纪六十年代，数学家证明了“平行线公理”、“康托连续统假设”都属于不可判定的命题，既无法证明，也无法证伪。数学家可以按照自己的喜好任意选择，或是进入欧式几何的系统，或是进入非欧几何的系统。
现在我们可以回到对公理的认识了。除了开始的关于公理的那两条定义之外，我们还应该知道，[color=Red]公理系统是可以扩充的。如果扩充的公理系统中，某一条公理属于“不可判定”的命题，那么对其“真”或“非真”的不同选择，可以衍生出两套逻辑上都正确的系统[/color]，比如，欧式几何与非欧几何。这样的认识是我们后面讨论的基础。
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