断章师爷 漫谈2010年度诺贝尔物理学获奖项目石墨烯（三）

作者：断章师爷 在 芦笛自治区 发贴, 来自海纳百川

 

漫谈2010年度诺贝尔物理学获奖项目石墨烯（三）
断章师爷

诺贝尔物理学奖评选委员在颁发新闻时指出“石墨烯，作为电导体，它和铜有着一样出色的导电性；作为热导体，它比目前任何其他材料的导热效果都好；石墨烯还是目前世界上最为坚固的材料；…… 如果和其他材料混合，石墨烯还可用于制造更耐热、更结实的电导体，从而使新材料更薄、更轻、更富有弹性，因此其应用前景十分广阔。……同时，有望帮助物理学家在量子物理学研究领域取得新的突破
。”

关于石墨烯种种奇异的物理和化学性质，网络上不乏报导。《维基》和《百度》的介绍更是全面和详尽，就不重复赘余了。这儿想谈谈石墨烯的问世对于量子物理学研究的意义。

我们知道限于昂贵的设备，苛刻的条件，不少相对论、量子电动力学和凝聚态物理学中的现象在实验室中轻易观察不到。相对论量子力学中的一些效应通常需要设计特殊的实验条件，譬如在黑洞中产生的粒子与反粒子对，或者超重核的真空撞击等。但是石墨烯的出现使得其中一些实验可以在极其普通的条件下实施。

石墨烯的这些优越性归因于其特殊的电子结构，这种二维晶体是由2种亚晶格组成的，在它们之间的量子力学跳跃形成了2种能带。这2种能带的相互作用使得在石墨烯Brillouin区域（即晶体倒易点阵的原胞，由法国物理学家Leon Brillouin 提出）的6个角附近产生了状似2个顶尖对置的圆锥形的能谱。观察结果表明石墨烯的能隙为零（能隙是导电带与价电带之间的能量差）。描述石墨烯中电荷载体的行为不能用通常的Schrödinger方程，但是可以用类Dirac 方程。石墨烯的电子能量与Fermi 速度（约为光速的300分之一）成线性关系，通常的金属和半导体中的电子则呈抛物线形的色散关系。由于这种能量与动量（Fermi 速度）的线性关系，使得石墨烯中的粒子行为与通常的金属和半导体迥然不同。实验结果表明在石墨烯的Dirac点（Brillouin区域中的角通常被称为Dirac点）附近电子和空穴的物理行为恰象由类Dirac方程描述的相对论性的自旋（1/2）粒子。所以，石墨烯中的电子和空穴被称为狄拉克费米子（Dirac Fermions）。在石墨烯中的Dirac点处，电子直接变为空穴，反之亦然。这就为验证一些量子电动力学现象提供了一条简单的途径。

先举一个Klein佯谬的例子。这个物理学术语指的是一种直觉的相对论性过程：相对论性的粒子可以在概率为一的情况下穿透一个相当高和相当宽的势垒，而且几乎与势垒的高度无关。对于非相对论性粒子，穿透率随着势垒的增加而呈指数递减。下面介绍一个具体模型。在二维笛卡尔坐标平面中设置一个静态的排斥势垒，势垒呈阶梯函数：在左面的区域I（即第2象限）中的势能V(x)=0；在右面的区域II（即第1象限）中的势能V(x)=Vo。假设位于区域I中的电子波从左至右射向势垒，计算结果表明，进入了右面区域II（即第1象限）中的入射波的传播方向居然发生了倒转，而左面区域I（即第2象限）中的反射波的强度竟然得到了增强。上述结果是瑞典籍的犹太物理学家Oskar Klein(1894 - 1977)在1929年进行计算时得到的，这种现象明显有悖于经典物理学观念，因此被称为Klein佯谬（Klein paradox）。

半个多世纪以来，对Klein佯谬进行解释的理论和假说形形色色，五花八门。其中，根据Dirac空穴理论的解释比较容易接受。通常教科书在介绍自由粒子的Schrödinger方程时，都假定粒子的能量和动量满足经典力学的关系（即能量等于动量平方除以2倍的质量）。其实这个经典关系只是动能的非相对论极限。倘若代之以相对论力学的关系（即能量平方等于动量平方和光速平方的乘积加上质量平方和光速4次方的乘积），并将其动量算符式作用到波函数，就可以得到自由粒子的Klein - Gorden方程。求解该方程，可以得到正负二组解。这儿的负解不能随便丢弃。因为在有外场存在的情况下，正负能级之间可以发生跃迁。然而当时物理学界对于负能态和负概率等的意义并不清楚。1930年Dirac提出了空穴理论，并且预测了正电子的存在。他设想由于某种原因，使体系中少了一个负能电子，遂留下了一个负能级的空洞，Dirac把之称为空穴（hole）。根据Dirac方程的对称性可以证明空穴的质量等于电子的质量。1932年C.D.Anderson在研究宇宙射线时发现了这种粒子，并称为正电子。正负电子对能级在外场中湮灭，同时产生光子。空穴理论的解释是电子从正能级跃迁到负能空穴，并发射了光子。

在Klein佯谬描述的环境里，相对论性粒子可以很轻易地穿越又高又宽的势垒，成功率高达100%。一般的量子力学穿越隧道的理论认为非相对论性的低能粒子穿透高能势垒的几率永远不可能是100%：随着势垒变高变厚，穿越的可能性也随之减小。量子电动力学与经典量子力学的区别在于：相对论性的粒子总是伴随着它们的反粒子。根据A.Einstein著名的质能方程式，一对正负反粒子子可以从真空“获取”能量，随之又很快湮灭，并把能量“归还”给真空。因此当相对论性的粒子遇到势垒时，就会转换成它的反粒子，根据R.P.Feynman的概念，反粒子等价于时间倒流的粒子，（就是在过去和未来之间保持对称性）。从过去向未来运动着的某个粒子，是和从未来向过去运动着的一个反粒子相对应的。现实世界里的“山峰”，在反粒子就成了“山谷”。反粒子很容易就通过这个反物质世界的“山谷”，到达势垒的另外一边，再变回普通粒子，看上去就跟没有遇到障碍似的。即使在许多物理学家看来，量子电动力学里的这些预言看上去也是极度不合常理的。 现在，石墨烯中无质量的Dirac准粒子终于证实了这一预言。在石墨烯中，Klein佯谬所描述的现象很容易被观察到。实验测定的结果表明，对于单层的石墨烯试样，入射角为0度、45度（不到些）和90度（不到些）时，透射率几乎都为100%。进一步的观察表明，电子在单层的石墨烯试样中的行为表明其自旋为1/2，其结果是电子和空穴发生耦合。双层的石墨烯试样，当入射角为30度（不到些）和80度（不到些）时，透射率也几乎达到100%。这表明石墨烯试样中所有的电子都发生了相对论性的量子穿越隧道的效应，通过率为100%。现在，研究人员正在测量粒子通过不同高度的势垒时产生的电流。物理学家还希望石墨烯能够帮助他们证明量子电动力学预言的其他一些奇特现象。

下面再举一个奇异量子Hall效应的例子。普通物理学课本中有一节专门论述美国物理学家Edwin Herbert Hall (1855 - 1938) 在研究电磁学时发现：当垂直于磁场的电流通过导体时，电荷载子由于受到Lorentz 力的作用而发生了偏转，并进而产生电压。这种现象称之为Hall效应。

所谓量子Hall效应其实是Hall效应的量子力学版本：当载流导线垂直于磁场时，其横向电导率会呈现量子化的数值。这种横向电导率称为Hall电导率，可以表示成为单位电导量子(单位电荷e的平方与Planck常数值h之比) 与Landau能级指标整数N的乘积。量子Hall效应又进一步分为整数量子Hall效应和分数量子Hall效应。整数量子Hall效应是由德国的Klaus von Klitzing发现，他因此得到1985年度的诺贝尔物理学奖；分数量子Hall效应由美国的崔琦、Robert Betts Laughlin以及德国的Horst Ludwig Störme共同发现，他们分享了1998年诺贝尔物理学奖。量子Hall效应只能在温度极低(3K左右)和磁场极强的条件下，在非常纯净的硅或砷化镓中才能观察到。由于石墨烯的发现，可以在摄氏20度的常温下观察到量子Hall效应。此外石墨烯中测得的量子Hall效应与通常的表示式不同，还必须乘上一个4倍的因子。对此的解释是石墨烯谱中出现了双重势谷，并且发生了双重的自旋简倂。对于单层的石墨烯试样，量子电导的离散序列与通常的量子Hall效应结果比较，还相差一个1/2，也就是说其Hall电导率等于4(N+1/2)与单位电导量子的乘积。然而对于双层的石墨烯试样来说，就只是4N与单位电导量子的乘积。这个(1/2)整数倍的量子Hall效应的发现是石墨烯中存在狄拉克费米子的最直接证明。(在粒子物理学中，除了中微子以外，所有符合标准模型的费米子都是狄拉克费米子，它们可以用类Dirac方程来表示。这儿指的是石墨烯中的低能激化。)

第三个例子举的是石墨烯中有限的最小电导率：它的每单位势谷和每单位自旋的电导率达到一个电导量子(单位电荷e的平方与Planck常数值h之比) 的数量级。这对于石墨烯的潜在应用具有极其重大的意义，作为半导体材料可用于开发弹道式输送的场致晶体管。众所周知，当一个导体的尺度小于其电子平均自由程时，与一般导体中自由电子的扩散行为完全不同，电子的运行方式称为弹道输运(ballistic transport)。如果我们把导体缩小到电荷载体的Fermi波长(即与半导体中的Fermi能级相应的波长)的尺度，此时通过导体的载体不再是连续的、大量的，而是一个一个或者几个几个不连续的，从而导致了很多量子现象的出现。其中最为明显的效应之一就是量子电导。石墨烯中每一个导电“通道”对总电导的贡献仅为一个电导量子!打个比方来说，电荷载体从普通的晶体管一端走到另一端的过程中，就象群众性的马拉松参赛选手听到号令枪响，争先恐后地冲入划为赛程的路口，不可避免地会发生互相碰撞甚至跌倒在地的混乱场面。电荷载体之间的碰撞就会发热，结果是耗散能量。在弹道式输送的场致晶体管中，电荷载体就象专业性的百米选手在分配到的跑道上奔驰，各行其道，互不干扰。电荷载体在各自的“独享”通道中输送，使得能量耗散很低。这就为譬如量子点器件的设计提供了有效的途径，可望对于未来的信息技术带来革命性的影响。

此外，通过石墨烯还可以观察到不少特殊的量子现象。Fermi能级附近的电子能级由连续态分裂成分立能级。当能级间距接近热能、磁能、静电能、静磁能、光子能或超导态的凝聚能时，会出现一些特殊的量子效应，从而使其热、磁、光、声、电、超导电等性能发生令人瞩目的变化。

《Nature》的编者在一篇按语中曾指出“石墨烯是凝聚态物理学和量子电动力学之间的新桥”。看来此话绝非过誉之辞。