供求约束方程组和约束市场

《自相矛盾的供需曲线》揭示了作为西方经济学奠基石的供需曲线在供需平衡时，需求与价格的关系与需求定理相矛盾。有着数不清的诺贝尔经济学奖的西方经济学居然长期存在如此幼稚的逻辑悖论看起来不可思议，实际上毫不奇怪。因为西方经济学不过是披着经济学外衣的政治学，因此并不关心事实如何。这矛盾重重的供需曲线反映的是资本垄断市场的供求关系。而供求平衡是自由市场调节的结果。硬要用自由市场经济的光环为垄断经济乔装打扮便不能不产生矛盾。为了详细解释这一点，首先需要了解市场经济最基本的特征。

市场经济中最重要的关系是产销关系，也就是供求关系。供求关系直接影响商品的价格和销量。因此在市场经济中至少有三个最主要的变量：供应量S、需求量D和价格P。这里没有考虑产品的生产过程和劳动价值，因为不涉及经济发展的动力过程，而只分析这三个市场变量之间的关系和变化特征。这三个变量都是时间的函数，并且相互关联。它们之间的关系千变万化，可引起市场的稳定和不稳定。

这三个市场变量是如此重要，但现有经济学却对它们缺乏有效的研究手段。这是因为很难在千变万化的市场上确定它们的变化函数。但不妨从研究基本的市场模式开始，从理论上揭示几种具有代表性的市场特征，如稳定市场、周期市场和不稳定市场等。它们存在的条件有助于我们了解目前的市场特性和判断未来的走向，甚至预报实体经济中危机的发生等重大经济事件。

一般来说科学研究通常有两种完全不同的方法。一种是由简到繁，一步一个脚印稳扎稳打。另一种是一上来就眉毛胡子一把抓，面面俱到，仿佛百无一失，结果往往是忙碌了多年仍然一事无成，只是增加了无数定义模糊的新名词和无休无止的争论。后者是研究复杂问题时常见的作法，为的是占领舆论高地，而不是真想弄明白什么问题。这里采用第一种方法从最简单的市场波动模型开始。科学不怕简单而怕出错。目前的经济学是杂乱无章并漏洞百出，结果连最基本的供需曲线都自相矛盾。这就是眼高手低不求甚解的结果。

通常市场可以分成稳定和扰动两个部分。人们最关心的是市场的波动和不稳定因素。这里将主要分析市场的扰动特征。分析三个最基本的市场变量，至少需要三个独立方程构成的方程组。第一个方程是著名的供求关系。它最简单的数学形式是

dP/dt = - a1*(S - D)

其中-a1是价格的供求变率或供求弹性(系数)，通常有a1 > 0。这个方程可以叫作价格约束方程或价格方程，说的是价格受供求关系的约束，故随供求失衡而变。价格的供应弹性可以不同于需求弹性。这里讨论的是最简单的市场，所以采用相同的供求弹性系数。由于a1 > 0，供不应求时有S < D和dP/dt > 0，这时物价上涨。供过于求时有S > D和dP/dt < 0，物价回落。除了供求关系外，影响物价的还有其它因素，因此价格方程可以有更复杂的形式，供求弹性系数也可以随时间变化。这里只是介绍最简单的一种。

第二个方程是供应约束方程或简称供应方程：

dS/dt = a2*(P – Ps)

其中a2是供应的价格变率或价格弹性(系数)，Ps是供应基价。当a2 > 0时，产商在价格超过供应基价后会增加供应牟取更大利润。反过来，如果价格低于供应基价，产商会减少供应。投机商也会屯积起来利用供求关系等待价格回升。可见供应基价是增加供应的门槛。门槛增高，供应会减少。增加供应则可以供应基价这个降低门槛。为什么这个方程叫作供应约束方程？因为当供应随价格增加到超过需求量时，供求关系又迫使价格回落，从而减小供应量的增加速度。于是供应约束方程与价格约束方程之间还存在着相互约束的关系。

这样的约束关系也适用于需求量的变化。于是有类似的需求约束方程或需求方程：

dD/dt = - a3*(P – Pd)

这里的- a3是需求的价格变率或价格弹性(系数)，Pd是需求基价。当a3 > 0时，需求量会因价格低于需求基价而增加，或因高于需求基价减少。这时需求基价是减少需求的门槛。门槛增高说明需求量增大，需求量减少则会降低需求门槛。同样地，当需求量因价格减低到一定程度后不断上升的同时，需求量可能超过供应量。这时供求关系迫使价格回升，从而减小需求量增加的速度。需求约束方程与价格约束方程之间存在着同样的约束关系。这三个方程构成一个闭合方程组，即供求约束方程组简称供求方程组。这个方程组只是描述在供求关系约束下的市场变化，而不涉及变化的动力因素，因此也可以称为市场约束方程组。受市场约束方程控制的市场就叫作约束市场。

市场变量之间的约束关系说明这样的市场是一种稳定市场，而且可以有某种周期性特征。这是可以在数学上得到证明的。对供求约束方程求导得

P''(t) = - a1*(S'(t) - D'(t))

把供应约束方程和需求约束方程代入其中后有

P''(t) + a1*(a2 + a3)*P = a1*(a3*Pd + a2*Ps)

熟悉振动力学的一眼可以看出这是个的振动方程。方程的解是频率为

ω= √[a1*(a2 + a3)]

的周期函数

P = C1*cos[√[a1*(a2 + a3)]t] + C2*sin[√[a1*(a2 + a3)]t]

+ (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)

震荡频率与各弹性系数正相关，但与供求基价无关。C1和C2是常数，可由初始条件和最后条件确定。例如t = 0时，P = P0的话，可以解出

C1 = P0 – (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)

为了简单起见，还可以设C2 = 0。这只是影响震荡的初位相，而不影响震荡特征。价格震荡的时间周期是

T = 2π/√[a1*(a2 + a3)]

在一个周期上的平均价格可以由

Pmean = [∫Pdt(t=0,T)]/T

来计算。由此获得周期平均的价格是Pmean = (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)。当供求基价相差不大时，周期平均价格接近于这些基价的平均值。如供求基价相等或Ps = Pd，有Pmean = Pd。这时的平均价格就是供求基价。

图一：约束市场的周期变化(Pd < Ps)

将P代入供应约束方程和需求约束方程后再积分便可获得供应和需求的时间函数。图一给出这三个市场变量的时间曲线。为了方便起见，三条曲线的单位选择使其能在一张图中清楚地显示出来。三个市场变量都是周期曲线。由于在时间坐标中表现为波动，市场震荡又可叫作市场波动。约束市场有如电磁场。市场约束方程组如同麦克斯韦电磁方程组一样，描述的是约束市场最基本的周期性质。需求场与供应场之间也存在相互作用。磁场中的移动导线会引发电流进而产生电场。需求场中的生产资料和劳力运作能产生市场需要的生产线和产品进而形成供应场。由于需求的价格弹性系数与供应的价格弹性系数符号相反，供需曲线的位相是相反的。价格曲线的上升段对应于S < D的部分，下沉段对应于S > D的部分。这正是供求关系对价格约束的结果。

图中的供需曲线除了随时间震荡外，还表现出随时间减小的趋势。这是因为在这个例子中采用的需求基价Pd小于供应基价Ps。这时增加供应的门槛高于减少消费的门槛，也就是说没有及时增加供应量。结果就是供应量和需求量都跟着下降。如果增加供应的门槛低于减少消费的门槛或Ps < Pd，供需曲线由于供应充分显示出随时间上升的趋势。在供需曲线的这些不同的趋势中，供应基数、需求基数和价格都可以保持不变。当两个基价相同时，供需曲线是围绕着固定的数量震荡，平均供应量和需求量都不随时间变化。需求曲线与价格曲线一样呈水平波动。从这里可以看出供求基价影响的是市场波动的长期趋势。这也可以从波动频率中看到，因为波动频率只与各弹性系数有关，而与供求基价无关。

图二：约束市场的供需曲线(Pd < Ps)

图二是约束市场的供(黑线)求(红线)曲线在传统坐标中的表现。让人跌落眼镜的是周期市场的供需曲线是螺旋线。绿色箭头表示 Pd < Ps时，螺旋线向左或向减小的方向移动。也就是说供应基价大于需求基价时，无论是供应量还是需求量都呈现减小的趋势。当 Pd > Ps或供应基价小于需求基价时，螺旋线向右或向增大的方向移动。这时的供应量和需求量都显示出上升的趋势。图中顺着时间增大的方向，黑色的供应螺旋可用右手法则来定向，而红色的需求螺旋可用左手法则来定向。而当 Pd > Ps时，同样的图显示供需螺旋的两手法则正好相反。左手定向需求螺旋，右手定向供应螺旋。

当Pd = Ps，或者说供需基价相等时，螺旋线变成如图三所示的闭合椭圆。无论是供应量还是需求量都不表现出任何周期平均的趋势。在满足边界条件的情况下，周期平均的供应量和需求量相等，也就是说市场余量为零。图三显示的供求同心圆或椭圆的面积不同，因为供需曲线的震荡平面与供应面和需求面的夹角不同。而这两个同心圆实际上是投影在不同的面上，只是为了方便才在图中重合在一起。不同的夹角可以从图四中发现。由于横坐标和纵坐标的比例尺不同，不容易一眼看出，如果把绿色的震荡线(面)投影到两个坐标轴上就不难发现。

图三：约束市场的供需曲线(Pd = Ps)

如果通过需求椭圆中心分别作一条水平线和垂直线，可以把需求曲线分成四个部分。右上方和左下方的曲线斜率小于零，对应的是马歇尔商品，也就是由马歇尔的需求定理所说的需求与价格反相关的商品。而左上方和右下方的需求曲线的斜率大于零，对应的是吉芬商品，也就是需求与价格正相关的商品。十九世紀维多利亚时代的英国经济学家吉芬发现当时英国进口小麦(也有说是土豆)的价格提高后，面包(或土豆)的销售量反而增加。这一现象有违马歇尔的需求定理。西方经济学于是把需求随价格增长而增长的商品叫作吉芬商品。

虽然真实市场上存在大量的吉芬商品，吉芬商品一直被西方主流经济学视为例外。因为西方经济学的现有理论无法解释吉芬商品出现的必然性。但在约束市场中，马歇尔商品和吉芬商品随供需平衡的需要交替出现，避免发生不稳定的市场发散现象。难怪2001年以來，中国经济学界就马歇尔的需求定理和吉芬商品展开过一场大讨论。参战学者之多讨论时间之长和影响范围之广实为罕见。然而至今依然没有定论。引进了市场约束方程组后，这个问题不难解决。

约束市场的震荡或波动在供需平面坐标中的影像如图四所示。这些震荡很像《自相矛盾的供需曲线》中图二到图四中所作的供需曲线示意图。这里的绿线表示需求基价与供应基价相等时，也即Pd = Ps时的市场震荡。这时的供应曲线和需求曲线完全重合。当需求基价小于供应基价或Pd < Ps时，震荡变成从绿色起点开始向左下方传播的波动。当需求基价大于供应基价或Pd > Ps时，波动向右上方传播。波动中曲线斜率的周期性变化反映了供需比例围绕着平衡点的交替变化。

图四：约束市场的供需曲线在供需面上的投影

图五是约束市场的供需曲线在需求、供应和价格构成的三维市场空间中的展示。三维供需曲线在各个坐标面上的投影就是图二和图四。前面的供需螺线在三维市场中实际上是供需螺管。在供求关系的约束下，螺管分别向供需增大或减小的方向延伸，取决于需求门槛是高于还是低于供应门槛。当供需基价相同时，螺管蜕化成二维的螺圈，不再显示长期变化的趋势。

图五：三维市场空间中的供需曲线

在约束市场中供需与价格之间相互约束实际上会影响供求基价，以至供需曲线的长期趋势在平均需求不变的情况下会逐渐减弱消失，最终有Ps = Pd。这时需求波动与价格波动平行。也就是说在现实市场中，供应基价和需求基价都是时间变量。这里的最简市场没有考虑这些基价的时间变化。后面将介绍一个需求基价平衡的例子。