美妙、有趣的数学(二)神奇的斐波那契数与黄金分割

作者:兰黛  于 2015-9-8 19:58 发表于 最热闹的华人社交网络--贝壳村

作者分类:教育观察|通用分类:子女教育|已有64评论

关键词:斐波那契数列, 黄金分割, 神奇, 数学之美

美妙、有趣的数学(二)神奇的斐波那契数与黄金分割

上篇感受了数学的数字之美:  https://www.backchina.com/blog/302989/article-232730.html

斐波拉契数列的来源及关系

斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,

   f(0)=1   
   f(1)=1   
   f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 
   {f(n)}即为斐波拉契数列。

 

这个数列中的每个数字都是前两项数之和,如果是以11开头的自然数数列,1123581321345589……这些数字被称为斐波那契数。同时,这个数列中还暗含着黄金比例,如果用数列中的每一个数字去除它后面的数字,数字越大,结果就越趋近于1.618,也就是我们平常所说的黄金比例。

兔子序列(斐波那契数列)

我们假设兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。第一个月我们有一对小兔子,如果所有兔子都不死,那么每个月的兔子对数,就符合斐波那契数列。

每月兔子的总数可以用以下数列表示:1123581321345589144233…。意大利数论家奥纳多·斐波那契Leonardo Fibonacci)在他13世纪初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取数列前两个元素为1,那么递推关系就是:

Fn≡ Fn−2+Fn−1

 根据斐波那契数列,可以画出斐波那契螺旋线,也称为黄金螺旋线

斐波那契螺旋与黄金矩型

在植物中隐藏着神秘的斐波那契数列

植物中首先被提及与斐波那契数列有关的是花瓣数。不可否认,确实有一些花的花瓣数目暗合这个数列中的数字。比如梅花、山桃花、苹果花、山茶花都是5个花瓣;而鸢尾和鸭跖草是典型的有3个花瓣的花(虽然鸢尾的萼片看起来很像花瓣,经常被看成6枚花瓣的花)。

3个花瓣的代表:鸭跖草(上),鸢尾(下),5个花瓣的代表:报春花(中)杏花(右)

在上面斐波那契螺旋与黄金矩型图形中,中间的两个小正方形边长都为1,从这两个正方形出发,沿着顺时针方向画出一些四分之一扇形,这些扇形的半径长度就符合斐波那契数列。

把这些螺旋线组合起来,可以构成这样的图形。

许多植物构造与斐波那契螺旋线完美结合

数一数从向日葵中心向外延伸的螺旋线,你会发现,它们也与数列有密切联系。在有300个小花的向日葵花盘上,可以找到34条左旋的曲线和21条右旋的曲线。更大的花盘能找出更多条螺旋线,但是螺旋线的数目总是斐波那契数。类似的,人们还发现菠萝和松果的花和种子也是类似的排列,上面的螺旋线有的是8条,有的是13条。3421813,这些都是斐波那契数。

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单:这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气,所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样,每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。是不是太奇妙了啊!

下面:洋甘菊、紫色金光菊、白菊花

下面:五角星花、绿芯雏菊、葵花籽、勺子菊花

还发现晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。下面是几张来自晶体中的图案模型。

贝类成长方式形成的对数螺旋线

贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线已经成为许多科学研究与艺术研究的课题。



上面是海星

最后告诉大家许多名画及有名的建筑物也与斐波那契螺旋线有关系(篇幅太长,略),以后有时间单独另写,再与朋友们分享。

美妙、有趣的数学(三)令人惊叹的分形艺术之美:https://www.backchina.com/blog/302989/article-234246.html

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(单张图片源于网络,最后由笔者编辑、排版而成)

 


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发表评论 评论 (64 个评论)

3 回复 trunkzhao 2015-9-8 20:27
小时候只是看书上说一说,如今可以对比自然界的实物图片,令人叹为观止。
2 回复 兰黛 2015-9-8 21:01
trunkzhao: 小时候只是看书上说一说,如今可以对比自然界的实物图片,令人叹为观止。
谢谢大树君,请坐,请喝茶!
3 回复 fanlaifuqu 2015-9-8 21:28
神奇的科学与自然的关系!
3 回复 洛游邮乐 2015-9-8 21:30
小时候曾对数学很着迷过,再补一下旧梦。谢谢分享。BTW,那个最大的螺旋线图(黑点组成的)当我上下移动mouse时,图案视觉上在旋转。酷!
2 回复 ymliu 2015-9-8 21:56
造化竒妙
3 回复 wo? 2015-9-8 22:07
说什么股市的波动也和此相关
2 回复 jc0473 2015-9-8 22:33
巧合重复出现就是规律了 谢谢分享!
4 回复 兰黛 2015-9-8 22:48
fanlaifuqu: 神奇的科学与自然的关系!
番老早上好!最恰当的比喻,谢谢您一向的鼓励与支持!
4 回复 兰黛 2015-9-8 22:54
洛游邮乐: 小时候曾对数学很着迷过,再补一下旧梦。谢谢分享。BTW,那个最大的螺旋线图(黑点组成的)当我上下移动mouse时,图案视觉上在旋转。酷!
谢谢洛乐君!那就是“波那契螺旋线”奇妙的是许多植物按照此线生长,最能够充分地利用阳光和空气,冥冥之中,有种神奇的力量在掌控着。
谢谢您的评论!
3 回复 兰黛 2015-9-8 22:57
ymliu: 造化竒妙
“神奇的科学与自然的关系!”ZT番老的话。
谢谢刘君的关注!
2 回复 兰黛 2015-9-8 22:59
wo?: 说什么股市的波动也和此相关
哦,不是!股市是与另一种奇妙的数学关系(图形)有关,我将在后面的续篇讲到。
谢谢W君!
4 回复 兰黛 2015-9-8 23:01
jc0473: 巧合重复出现就是规律了 谢谢分享!
诗哥早啊!谢谢您一向的鼓励与支持!
2 回复 前兆 2015-9-8 23:25
自然界竟然如此之美妙!赞!     
1 回复 兰黛 2015-9-8 23:29
前兆: 自然界竟然如此之美妙!赞!        
谢谢教授!
2 回复 前兆 2015-9-8 23:48
张张照片都十分精彩!
1 回复 法道济 2015-9-8 23:54
既然是最合理比例,为什么人类当中黄金比例的美女少之又少,大部分歪瓜劣枣?
2 回复 兰黛 2015-9-9 00:01
法道济: 既然是最合理比例,为什么人类当中黄金比例的美女少之又少,大部分歪瓜劣枣?
你看到的是网上搞笑的。“波那契螺旋线”时有角度的,我想您忽略了这点。
那是把黄金分割的位置转了角度摆放。为什么我们看雕塑会觉得比真人美呢?是雕塑家在艺术的过程中,理想化,按照这个比例来雕塑的,而自然人中却少有这样严格的比例的。
3 回复 法道济 2015-9-9 00:02
兰黛: 您说的是把黄金分割的位置转了角度摆放。为什么我们看雕塑会觉得比真人美呢?是雕塑家在艺术的过程中,理想化,按照这个比例来雕塑的,而自然人中却少有这样严格
这美的永远是稀少的,可惜!
2 回复 兰黛 2015-9-9 00:10
法道济: 这美的永远是稀少的,可惜!
不可惜,美有许多种,内涵的美才是最重要的。
4 回复 法道济 2015-9-9 00:12
兰黛: 不可惜,美有许多种,内涵的美才是最重要的。
   兰黛会说话,听你的,以后尽量多关注内在美,心里美
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