http://www.guokr.com/question/636840/
满足如下条件的自然数n叫Carmichael数:n是合数,并且对所有在1和n之间的自然数b(<img src="http://2.im.guokr.com/formula/1c02a8ca38b14ddcf0e87831d40c68272c42bc19.svg" data-math="1<b),有。
为什么数学家会研究这样的数呢?这要从费马小定理说起。
大家对费马这个业余搞数学的法律工作者应该比较熟悉了。当时他的工作不允许随便出去跟别人玩,于是他就在家里玩数学,玩得青史留名。费马小定理就是他众多结果里边比较有名的。
费马小定理:对于一个素数p,取任意与它互质的正整数b,必定有。
然后有人就开起了脑洞:如果将费马小定理反过来用会怎么样呢?如果对一个正整数n,取任意与它互质的正整数b,都有的话,是不是就说明n是一个素数呢?实际上,根据模的性质,我们可以只考虑1和n之间的b。这实际上就是费马小定理的逆命题。如果这是对的话,那么就成了一个判别素数的好方法了,只需要检验一下这些乘方就可以了。
然而事情并没有那么单纯。真命题的逆命题不一定是真命题,而费马小定理恰好就是一个这样的例子。那些违反费马小定理的合数n,就是Carmichael数,有时候又叫绝对费马伪素数(absolute Fermat pseudoprimes)。
于是,知道这些数的规律,就能避开它们。而且作为数论中的有趣反例,它们在数论中也有一定的意义。
然后这位工人,他到底发现了什么呢?因为我找不到具体的公式,只能网上搜了几幅图片来推断。我觉得,他的发现很可能与以下论文中的Theorem 2,3,4有关:
Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45: 269–274.
我感觉这位工人大概不是民科,而是一般的数学爱好者,但是我也没有证据。在看到详细的论证之前,我自己感觉下结论说这个结果是不是新颖还为时尚早。不过,在力所能及的范围内,尝试用正确的方法论钻研数学,这还是值得鼓励的。这位工人的弱点可能在于不懂得做证明,不熟悉形式论证的方法,而这些方法对数学研究是非常重要的。
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修改的分割线:
找了一下,找到了具体的公式:(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1),如果三个因子都是素数,那么乘积就是Carmichael数。而Chernick的结果中的因子都是一次式,这里有一个二次式。那么,一个自然的问题就是:这个结果可以推广吗?Chernick的结果可以推广到一大堆别的形式上,如果现在这个公式也可以推广的话,那就更有趣了。