美国总统大选的数学问题

作者:白露为霜  于 2012-10-19 21:15 发表于 最热闹的华人社交网络--贝壳村

作者分类:百味人生|通用分类:留学生活|已有27评论

关键词:数学, 美国总统, 大选

总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?

 

白露为霜注:这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。

50%1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。

投了也白投,白投也要投”一文中提到, 美国总统选举是一种间接选举。选民先投票选出选举人,再由选举人选出总统。美国宪法Article II规定谁获得多数的选举人票谁就获胜,并没有提到全国普选得票的数量。那么有没有可能一个候选人赢得多于270张的选举人票却在全国得票不到半数呢?当然,可能性的确是存在的。这样的事情在美国历史上发生过三次。

 

1876年,第十九届总统Rutherford Hayes 赢得选举但他的普选票比对手少26张。几年后的1888年,第二十三届总统 Benjamin Harrison全国得票比对手少10张。最近的一次是2000年,小布什(George W Bush)同高(Al Gore)夺总统大位。把全世界看得目瞪口呆的是高尔的全国得票比布什高出50张,却只得到266张选举人票,以4票之差饮恨。布什险胜罗里达功不可没。他在这个摇摆州赢了大约300票,可由于种种原因选举读卡机拒绝的废票竟有17之多。两人佛州重数选票和如何处理这些废票打官司一直打到最高法院。布什获胜,历史就此而改写。挂着的纸片” (hanging chad)也变成了美国政治词语中的一个。

 

美国总统大选的数学问题_图1-1

官员在研究2000年佛罗里达的选票

 

现在我们把这个例子推向极端。假设罗姆尼运气极佳而且心想事成,他怎样才能用最少的全国普选票来赢得大选?我们知道他不需要50%,但到底这个数字是45%35%

要让这道题有解我们还要做些简化工作:1) 假设所以州都是赢者全拿”(实际上缅因州和内布拉斯加州是例外)2) 假设所有的选区(congressional district) 投票的人都是一样多 (实际上还是有差别的)。3)只有两个候选人(其实还有一些小党的候选人)。

对于到现在还没有头绪的读者这里给出提示。产生这种选举人票和全国普选票不一至现象主要有两种原因。

提示1:候选人赢得了很多小州

每个州的选举人的数目相当于这个州的众议员数目加上参议员数目。比如德州(Texas)有36名众议员和2名参议员,共38张选举人票。美国众议院共435人。每个州的众议员的数目取决于州的人口。每隔10年,美国就要进行一次人口普查,其目的之一就是确定各个州的众议员的数量。然后各州还要进行重新划区(redistricting)以确保每个选区的人口基本相同。平均下来,每个选区的人口大约是60万。

而每个州的参议员的数目却于人口无关。不管大小每个州都是两人,50个州共100人。参议员的选区是整个州。

到现在你应该可以看出了。要想以最少的选票取得大选胜利策略之一是赢得许多小州。因为州越小,参议员两个名额的效果就越显著。

提示2:候选人在获胜的州小胜,而在他失败的州却大败

美国
总统大选在州一赢者全拿 (Winner-takes-all)。如果罗姆尼赢得了52%的德州选票,他将获得德州全部的38张选举人票。要想以小搏大另一策略就是在他赢的州小胜而在他输的州大败。

候选人票的分布

把这两个策略合在一起,你就应该能解出这道题。让我们假设奥巴马运气极差。他赢得11个最大的州,包括: 加州(55)佛罗里达(29)伊利诺斯(20)密西根(16)新泽西(14)纽约(29)北卡(15)俄亥俄(18)宾夕法尼亚(20)德州(38)佛及尼亚(13)。这些州给了他267张选举人票,刚刚好低于270的门槛。奥巴马不但赢了这些州,而且是获得了100%的选票,但这没有帮助,还是只有267张选举人票。

相应的罗姆尼赢得了剩下的39个州加华盛顿DC,共获得选举人票271张,因而获得的大选的胜利。罗姆尼而且赢得很巧妙,每个州都是50%+1票。

罗姆尼胜出的这些州里有多少选区呢?271人减40州参议员的数目 271 - 40 * 2 = 191个。因为每个州他只赢了一半多一点的选票,所以投票给罗姆尼的人共有 191 * N / 2 = 95.5 * N (N是每选区投票的人数)全国438个选区,所以全国共有 438 * N 罗姆尼的全国得票律是 (95.5 * N) /(438 * N) = 21.8%

答案:总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统

相信不少人对这个数字会很惊讶。只获得全国选票的22%就可以赢得大选?这还了得!这如何体现多数人说了算的民主原则?如果设计这一制度的美国国父们(founding fathers)知道可能会有这样的结果不知会如果作想。当然这样的事情只有在理论上的可能性,在实际生活里是不大会发生。每个国家的制度都有它形成的历史渊源。当初13个殖民地坐下来讨论成立联邦的时候,各州都在为自己争取利益。美国独特的选举制度也是一个妥协的结果。历史上也有过好几次想通过修改宪法把总统选举改成直选,但这些努力都未能成功。

白露写这篇博文的目的不是为了批评美国的选举制度。大多数情况下选举人票和普选得票结果是相同的,在少数极端情况下,结果却有很大不同。That's the way it is。是否公平也是见仁见智。作为新移民,对美国政治有个全面的认识,对它的一些独特属性有所了解也是很有必要的。民主也是一个学习的过程,作为附加的好处:对算术也有帮助。




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发表评论 评论 (27 个评论)

2 回复 wcat 2012-10-19 21:21
啊,美国不是直接选举啊?!这民主吗?   
2 回复 解滨 2012-10-19 22:08
有理有据的分析,谢谢提供如此详尽的信息!
2 回复 老君岩 2012-10-19 22:15
写的好!
2 回复 小皮狗 2012-10-19 23:02
喜欢照片和文章。
2 回复 白露为霜 2012-10-19 23:15
wcat: 啊,美国不是直接选举啊?!这民主吗?    
你的问题很好。美国的制度当然不是完美的。但大多数时间同普选的结果是一至的。偶然有些偏差,美国人似乎并不在意。

现有得安排对小州较为有利。这样总统大选不会为加州,纽约州这样的人口大州所垄断。另一个好处是产生了稳定的两党政治。小党很难在美国出头。美国人基本上对现有选举制度是满意的。改宪的意愿并不高。
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2 回复 白露为霜 2012-10-19 23:16
解滨: 有理有据的分析,谢谢提供如此详尽的信息!
谢大侠。
2 回复 白露为霜 2012-10-19 23:16
老君岩: 写的好!
谢谢留言。
2 回复 wcat 2012-10-19 23:18
白露为霜: 你的问题很好。美国的制度当然不是完美的。但大多数时间同普选的结果是一至的。偶然有些偏差,美国人似乎并不在意。

现有得安排对小州较为有利。这样总统大选不 ...
谢谢!   
2 回复 白露为霜 2012-10-19 23:21
小皮狗: 喜欢照片和文章。
这张照片是2000年佛州重计事件的iconic的图像,印象极深。我在写这篇文章时就在想一定要把它找到。
2 回复 蓝天绿地 2012-10-20 05:28
  
2 回复 liuguang 2012-10-21 10:38
原来我的选票是不算数的?!
2 回复 Giada 2012-10-21 12:36
哈,脱离实际的极端算法,一般好像两种选法还是比较接近的。再说,很少有某一个党全赢大州或全赢小州。所以实际情况比极端情况要复杂。不过,我支持改章程普选,这样选民起码认为自己在选,自己选的人失败了也是投了TA的票。现在,选总统就在几个swing states里闹,像加州,Romney根本就是没戏的。
2 回复 白露为霜 2012-10-21 12:59
Giada: 哈,脱离实际的极端算法,一般好像两种选法还是比较接近的。再说,很少有某一个党全赢大州或全赢小州。所以实际情况比极端情况要复杂。不过,我支持改章程普选, ...
一个系统的可靠性要考虑到最坏的可能性。   08年经济危机之前人们不也认为房价不可能在全国范围内下跌得吗?
2 回复 白露为霜 2012-10-21 12:59
liuguang: 原来我的选票是不算数的?!
还是有用的。
2 回复 Giada 2012-10-24 04:48
白露为霜: 一个系统的可靠性要考虑到最坏的可能性。    08年经济危机之前人们不也认为房价不可能在全国范围内下跌得吗? ...
不过,不希望普选的人也有理由,好像也有文章说现在的选举人制度比普选要精确。
2 回复 晓临 2012-11-6 13:27
学习了,但不大明白。全文的意思好像是先由选民选出“选举人”,再把每个州的“选举人”全部算给过半数的“选举人”所属之政党的总统候选人,然后计算候选人所得之“选举人”的总数,数大者当数。如果我的理解没错,就不能说“选民先投票选出选举人,再由选举人选出总统。”,因为“选举人”实际上没“选”出总统。

在离美国很近的地方住了几十年,这是首次对南邻的选举制度感兴趣。我们的总理也不是直选的,但直接由其政党在下议院所占之优势来决定。
2 回复 晓临 2012-11-6 13:34
补充一下:我们的上议院席位按每省的人口来分配,这就起不到小省可在上议院抗衡大省的作用。加拿大这一点比不上美国。
2 回复 白露为霜 2012-11-6 13:39
晓临: 学习了,但不大明白。全文的意思好像是先由选民选出“选举人”,再把每个州的“选举人”全部算给过半数的“选举人”所属之政党的总统候选人,然后计算候选人所得 ...
老百姓在选举日(明天)选出选举人,总统选举的结果已经出来了。
选举人还是有一个礼节上的选举形式选举出总统。但那只是走过场而已,没有人会注意。

The meeting of the electors takes place on the first Monday after the second Wednesday in December after the presidential election. The electors meet in their respective states, where they cast their votes for President and Vice President on separate ballots. Your state’s electors’ votes are recorded on a “Certificate of Vote,” which is prepared at the meeting by the electors. Your state’s Certificates of Votes are sent to the Congress and the National Archives as part of the official records of the presidential election.
2 回复 白露为霜 2012-11-6 13:43
晓临: 补充一下:我们的上议院席位按每省的人口来分配,这就起不到小省可在上议院抗衡大省的作用。加拿大这一点比不上美国。 ...
我在加拿大投过票,好像给了Jean Chrétien。
2 回复 晓临 2012-11-6 14:02
谢谢讲解!那真是比加国复杂多了。
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